Prof. Dr. Elmar Schrohe
Institut für Analysis
Leibniz Universität Hannover
SEMINARANKÜNDIGUNG
für das Wintersemester 2011/12
Thema Deformationsquantisierung
Veranstalter Olaf Lechtenfeld und Elmar Schrohe
Voraussetzungen Analysis 1-3, möglichst auch Funktionalanalysis und Quantenmechanik.
Literatur
1. S.T. Ali, M. Englis: Quantization Methods: A Guide for Physicists and
Analysts.
http://arxiv.org/abs/math-ph/0405065
2. M. Rieffel: Deformation Quantization for Actions of R^d,
Mem.AMS 506, 1993
3. M. Schlichenmaier: Berezin-Toeplitz quantization for compact
Kähler manifolds. A Review of Results. http://arxiv.org/abs/1003.2523
4. S. Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Eine
Einführung, Springer 2007. Online verfügbar unter www.springerlink.com/content/978-3-540-72517-6#section=306768&page=1
Überblick
Deformationsquantisierung
ist der Versuch, eine Verbindung herzustellen zwischen der klassischen
Mechanik (KM), wo die Observablen durch Funktionen auf dem Phasenraum
gegeben sind, und der Quantenmechanik (QM), bei der die Observablen
selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum sind.
Ein
zentraler Unterschied zwischen beiden Theorien besteht darin, dass die
Algebra der Funktionen kommutativ ist, während in der QM z.B. der
Kommutator [Q,P] zwischen den der Orts- und der Impulsvariable
zugeordneten Operatoren Q und P gleich $i\hbar Id ist
(\hbar ist die Plancksche Konstante).
Eine
Frage, die die Physiker seit der Entwicklung der QM beschäftigt hat,
ist, ob sich die KM als Grenzwert der QM ergibt, wenn man \hbar
als Variable ansieht und einen geeigneten Grenzwert \hbar-->0
bildet. Eine grundlegende Idee der Deformationsquantisierung ist es,
auf der Algebra der Funktionen ein neues Produkt *_\hbar einzuführen,
das für 0\le \hbar\le1 definiert ist und in den
Grenzfällen \hbar=0 bzw. \hbar=1 die jeweiligen Algebren (KM
bzw. QM) liefert.
Das Seminar soll in die Thematik einführen und sie von mathematischer wie physikalischer Seite beleuchten.
Unverbindliche Vorbesprechung: 07.07.2011, 10.15 Uhr, Raum g123
Anmeldung Bis 15.07.2011 per email an schrohe@math.uni-hannover.de
Themen
(1) Hamiltonsche Mechanik (Kap. 1)
(2) Symplektische Geometrie (Kap. 3.1-2)
(3) Impulsabbildungen und Phasenraumreduktion (Kap. 3.3)
(4) Poisson-Geometrie (Kap. 4.1)
(5) Lie-Algebroide und Poisson-Kohomologie (Kap. 4.2)
(6) Problemstellung der Quantisierung (Kap. 5.1)
(7) Kanonische Quantisierung (Kap. 5.2)
(8) Symbolkalkül fuer Pseudodifferentialoperatoren (Kap. 5.3-4)
(9) Formale Deformationsquantisierung I (Kap. 6.1-2)
(10) Formale Deformationsquantisierung II (Kap. 6.3-4)
(11) Zustände als positive Funktionale (Kap. 7.1)
(12) Darstellungen und GNS-Konstruktion (Kap. 7.2)